Question

9．已知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}），g（x）=\sqrt{3}cos2x$
（1）設(shè)h（x）=f（x）g（x），求函數(shù)h（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若一動(dòng)直線x=t與函數(shù)y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正弦公式求得h（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)h（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=sin2x 和g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）的周期相同，把f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{3}$倍，可得g（x）的圖象，求得|MN|的最大值．

解答 解：（1）∵已知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}），g（x）=\sqrt{3}cos2x$，
故h（x）=f（x）g（x）=[sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$]cos2x
=sin2x•cos2x=$\frac{1}{2}$sin4x，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 $\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故函數(shù)h（x）的減區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[0，π]，可得h（x）的減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]．
（2）函數(shù)y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2sin2xcos$\frac{π}{3}$=sin2x，
y=g（x）=$\sqrt{3}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$），故f（x）和g（x）的周期相同，
把f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{3}$倍，可得g（x）的圖象，
若一動(dòng)直線x=t與函數(shù)y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，
則|MN|=|$\sqrt{3}$sin（2t+$\frac{π}{2}$）-sin2t|=|$\sqrt{3}$cos2x-sin2t|=|2sin（$\frac{π}{3}$-2t）|≤2，
則|MN|的最大值為 2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．