Question

已知A（0，1），B（4，t），是否存在實數t，滿足A，B兩點作與x軸相切的圓有且只有一個？若存在滿足條件的圓，求出這個圓的方程；若不存在滿足條件的圓，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：設出圓的標準方程，利用待定系數法進行判斷即可．

解答： 解：設過A，B兩點的圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
則由題意知以下三個等式成立，
即a²+（1-b）²=r²，①
（4-a）²+（t-b）²=r²，②
|b|=r ③，
分別把③代入①②得，
a²+（1-b）²=b²，④
（4-a）²+（t-b）²=b²，⑤，
⑤-④得
16-8a-t²-2bt-1+2b=0，
即（2t-2）b=t²-8a+15，
當2t-2≠0，即t≠1時，
b=

t2-8a+15

2t-2

=t+1+

8-4a

t-1

，
∵當t取任何一個不等于1的實數時，此時確定的a，b取值不唯一，而當t=1時，圓心不存在，
∴不存在實數t，使?jié)M足A，B兩點作與x軸相切的圓有且只有一個．

點評：本題主要考查圓的方程的求解，利用待定系數法是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．