Question

（本題滿分14分）已知{ a_n }是等差數列，{ b_n }是等比數列，S_n是{ a_n }的前n項和，a₁ = b₁ = 1，．

（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中項，求a_n與b_n的通項公式；

（Ⅱ）若a_n∈N^*，{}是公比為9的等比數列，求證：

Answer 1

解  設等差數列{ a_n }的公差為d，等比數列{ b_n }公比為q．

（Ⅰ）∵ ，∴ ，而 a₁ = b₁ = 1，則 q（2 + d）= 12．①

又 ∵ b₂是a₁，a₃的等差中項，

∴ a₁ + a₃ = 2b₂，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q．                                            ②

聯立①，②，解得  或                  …………………… 4分

所以 a_n = 1 +（n－1）· 2 = 2n－1，b_n = 3^n－1；

或 a_n = 1 +（n－1）·（－5）= 6－5n，b_n =（－4）^n－1．       …………………… 6分

（Ⅱ） ∵ a_n∈N^*，，

∴ ，即 q^d = 3²．                     ①     …………………… 8分

由（Ⅰ）知  q ( 2 + d ) = 12，得 ．            ②

∵ a₁ = 1，a_n∈N^*，∴ d為正整數，從而根據①②知q＞1且q也為正整數，

∴ d可為1或2或4，但同時滿足①②兩個等式的只有d = 2，q = 3，

∴ a_n = 2n－1，．                                …………………… 10分

∴ （n≥2）．

當n≥2時，

．

顯然，當n = 1時，不等式成立．故n∈N^*，．

…………………… 14分

思路2   或者利用（n≥2）從第三項開始放縮