Question

一般地，我們把函數(shù)h(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ (n∈N)稱(chēng)為多項(xiàng)式函數(shù)，其中系數(shù)a₀，a₁，…，a_n∈R。

設(shè)f(x)，g(x)為兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，且對(duì)所有的實(shí)數(shù)x等式f[g(x)]=g[f(x)]恒成立。

（I）若f(x)=x²+3，g(x)=kx+b(k≠0)。

①求g(x)的表達(dá)式；

②解不等式f(x)-g(x)＞5。

（II）若方程f(x)=g(x)無(wú)實(shí)數(shù)解，證明方程f[f(x)]=g[g(x)]也無(wú)實(shí)數(shù)解。

Answer 1

（I）解：因?yàn)?sub>，

       所以，                     

       即，

       因?yàn)樯鲜綄?duì)所有的實(shí)數(shù)都成立，且，

       所以 解得，。

       所以。                                                   

       不等式，即為，

       解得或。

       答：①的表達(dá)式為；

②不等式的解集為。

       （II）證明：設(shè)函數(shù)，

       因?yàn)榉匠?sub>無(wú)實(shí)數(shù)解，

       所以函數(shù)的圖象或者恒在軸上方，或者恒在軸下方，

       即恒大于零或者恒小于零，                                

       不妨假設(shè)，即，

       因?yàn)?sub>，

       所以，

      

       。

       故方程也無(wú)實(shí)數(shù)解。