Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（I）當(dāng)a=-

3

8

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+3-2ax，若x∈[1，2]時(shí)，g（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=-

3

8

時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后令f'（x）＜0，解得x的取值范圍即為該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ） 先整理g（x），然后求出導(dǎo)函數(shù)g′（x），令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，然后討論2a與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值，使最小值大于0即可．

解答：解：（I）當(dāng)a=-

3

8

時(shí)，函數(shù)為f(x)=x3+

9

8

x2-

3

4

x+1，
則f/(x)=3x2+

9

4

x-

3

4

＜0，解得當(dāng)-1＜x＜

1

4

時(shí)，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

1

4

)．  （3分）
（Ⅱ） g（x）=x³-3ax²+4，則g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a
（1）若0＜a≤

1

2

，在區(qū)間x∈[1，2]上時(shí)，g′（x）＞0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增
所以有g(shù)（1）＞0，解得a＜

5

3

，故0＜a≤

1

2

（2）若

1

2

＜a＜1，當(dāng)x∈[1，2a]時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[2a，2]時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，所以有g(shù)（2a）＞0，解得a＜1，故

1

2

＜a＜1（7分）
（3）若a≥1，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g′（x）＜0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
所以有g(shù)（2）＞0，解得a＜1，舍去
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[1，2]，g（x）＞0恒成立．                （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的 數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．