Question

北京時(shí)間2011年3月11日13時(shí)46分，在日本東海岸附近海域發(fā)生里氏9級(jí)地震后引發(fā)海嘯，導(dǎo)致福島第一核電站受損嚴(yán)重．3月12日以來(lái)，福島第一核電站的4臺(tái)機(jī)組（編號(hào)分別為1、2、3、4）的核反應(yīng)堆相繼發(fā)生爆炸，放射性物質(zhì)泄漏到外部．某評(píng)估機(jī)構(gòu)預(yù)估日本在十年內(nèi)修復(fù)該核電站第1、2、3、4號(hào)機(jī)組的概率分別為

1

2

，

1

2

，

1

2

，

3

5

．假設(shè)這4臺(tái)機(jī)組能否被修復(fù)相互獨(dú)立．
（1）求十年內(nèi)這4臺(tái)機(jī)組中恰有1臺(tái)機(jī)組被修復(fù)的概率；
（2）求十年內(nèi)這4臺(tái)機(jī)組中被修復(fù)的機(jī)組的總數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）十年內(nèi)這4臺(tái)機(jī)組中恰有1臺(tái)機(jī)組被修復(fù)，則其余3臺(tái)沒(méi)有被修復(fù)，利用相互獨(dú)立事件的概率公式可求；
（2）確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（1）設(shè)十年內(nèi)這4臺(tái)機(jī)組中恰有1臺(tái)機(jī)組被修復(fù)的事件為A，則
P（A）=3×(

1

2

)3×

2

5

+(

1

2

)3×

3

5

=

9

40

（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，則
P（ξ=0）=

C

0 3

×(

1

2

)3×

2

5

=

1

20

P（ξ=2）=

C

2 3

×(

1

2

)3×

2

5

+

C

1 3

×(

1

2

)3×

3

5

=

3

8

P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

2

5

+

C

2 3

×(

1

2

)3×

3

5

=

11

40

P（ξ=4）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

3

5

=

3

40

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 20	9 40	3 8	11 40	3 40

∴Eξ=0×

1

20

+1×

9

40

+2×

3

8

+3×

11

40

+4×

3

40

=

21

10

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率．