Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，a₃和a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且有S_n=

1-bn

2

（n∈N^*）
（1）求{a_n}和{b_n}的通項；
（2）若{a_n•b_n}的前n項和為T_n，且ax²+（a-1）x-

2

3

≤T_n對任意n∈N^*恒成立，試求x的取值集合，其中a∈R．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“當n=1時，b₁=S₁，當n≥2時，
b_n=S_n-S_n-1”即可得出數(shù)列的通項公式；
（2）利用等比數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”即可得出T_n，利用其單調(diào)性可得其最小值，則ax²+（a-1）x-

2

3

≤T_n對任意n∈N^*恒成立，?ax²+（a-1）x-

2

3

≤（T_n）_min=

1

3

，n∈N^*，對a分類討論即可得出．

解答： 解：（1）由方程x²-14x+45=0，解得x=5或9．
∵a₃和a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且公差d＞0．
∴a₃=5，a₅=9，
∴

a1+2d=5 a1+4d=9

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
由S_n=

1-bn

2

（n∈N^*），當n=1時，b₁=S₁=

1-b1

2

，解得b₁=

1

3

．
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=

1-bn

2

-

1-bn-1

2

，化為

bn

bn-1

=

1

3

．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，∴bn=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
（2）a_nb_n=

2n-1

3n

．
∴T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，
兩式錯位相減可得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2+2n

3n+1

，
∴T_n=1-

1+n

3n

．
∵數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，∴當n∈N^*時，T_n≥T₁=

1

3

．
∵ax²+（a-1）x-

2

3

≤T_n對任意n∈N^*恒成立，
∴ax²+（a-1）x-

2

3

≤（T_n）_min=

1

3

，n∈N^*，
∴ax²+（a-1）x-1≤0．
當a=0時，不等式化為-x-1≤0，解得x≥-1，此時不等式的解集為{x|x≥-1}；
當a≠0時，不等式化為a(x-

1

a

)(x+1)≤0，
①當a＜-1時，

1

a

＞-1，不等式的解集為{x|x≥

1

a

或x≤-1}；
②當a=-1時，

1

a

=-1，不等式的解集為R；
③當-1＜a＜0時，

1

a

＜-1，不等式的解集為{x|x≤

1

a

或x≥-1}；
④當a＞0時，

1

a

＞-1，不等式的解集為{x|-1≤x≤

1

a

}．

點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、利用“當n=1時，b₁=S₁，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1”求數(shù)列的通項公式的方法、等比數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．