Question

已知函數(shù)，
（1）若x＜a時，f（x）＜1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a≥-4時，函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令2^x=t，則有0＜t＜2^a，f（x）＜1當x＜a時恒成立，可轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)可得在t∈（0，2^a）上恒成立，求出右邊的最值，即可得到結(jié)論；
（2）當x≥a時，f（x）=x²-ax+1，利用配方法，分類討論，可求函數(shù)的最小值；當x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），利用配方法，分類討論，可求函數(shù)的最小值，從而可得函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值時，實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）因為x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，所以令2^x=t，則有0＜t＜2^a，
所以f（x）＜1當x＜a時恒成立，可轉(zhuǎn)化為，
即在t∈（0，2^a）上恒成立，--------------------------------------（2分）．
令，則，------------------------------（3分）．
所以在（0，2^a）上單調(diào)遞增，-------------（4分）．
所以，所以有：．
所以，所以（2^a）²≤5，所以-----------------------------------------（5分）．
所以．----------------------------（6分）．
（2）當x≥a時，f（x）=x²-ax+1，即，----------（7分）．
①當，∴a≥0時，此時對稱軸在區(qū)間左側(cè)，開口向上，所以f（x）在[a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（a）=1；-------------------------------------------------（8分）．
②當，∴-4≤a＜0時，此時對稱軸在區(qū)間內(nèi)，開口向上，所以f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以．
所以由①②可得：當x≥a時有：．---------------------（9分）．
當x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），則，
③當，∴2^2a＞2，∴時，h（t）在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；---------------------------------------（10分）．
④當，∴2^2a≤2，∴時，h（t）在（0，2^a）單調(diào)遞減，h（t）∈（h（2^a），h（0））=（4^a-4，0）
所以，此時，h（t）在（0，2^a）上無最小值；---------------------------------------------（11分）．
所以由③④可得當x＜a時有：當時，；
當時，無最小值．------------------------------（12分）．
所以，由①②③④可得：
當時，因為，所以函數(shù)；---------------------------（13分）．
當時，因為4^a-4＜0＜1，函數(shù)f（x）無最小值；--------------------------------（14分）．
當-4≤a＜0時，，函數(shù)f（x）無最小值．-------------------------（15分）．
綜上所述，當時，函數(shù)f（x）有最小值為；當時，函數(shù)f（x）無最小值．
所以函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值時，實數(shù)a的取值范圍為．---------（16分）．
點評：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的最值，考查配方法的運用，考查分離參數(shù)法，屬于中檔題．