【題目】已知f(x)=x3﹣ax2﹣a2x+1,(a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)的圖象不存在與l:y=﹣x平行或重合的切線,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)f(x)=x3﹣ax2﹣a2x+1, ∴f'(x)=3x2﹣2ax﹣a2=(x﹣a)(3x+a),
當(dāng)a<0時,x∈(﹣∞,a)和(﹣ ,+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增,
x∈(a,﹣ )時,f'(x)<0,f(x)遞減;
當(dāng)a>0時,x∈(﹣∞,﹣ )和(a+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增,
x∈(﹣ ,a)時,f'(x)<0,f(x)遞減;
當(dāng)a=0時,f'(x)≥0恒成立,f(x)R上遞增.
(Ⅱ)若f(x)的圖象不存在與l:y=﹣x平行或重合的切線,
∴f'(x)≠﹣1,
∴f'(x)=3x2﹣2ax﹣a2≠﹣1恒成立,
∴3x2﹣2ax﹣a2+1≠0恒成立,
∴3x2﹣2ax﹣a2+1>0恒成立,
∴△=4a2﹣12(﹣a2+1)<0,
∴﹣ <a<
【解析】(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),對參數(shù)a進行分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)求出導(dǎo)函數(shù),不問題轉(zhuǎn)化為3x2﹣2ax﹣a2+1>0恒成立,利用判別式求解即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)點. 分別在.上運動,若的最小值為1,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) (Ⅰ)證明直線l經(jīng)過定點并求此點的坐標(biāo);
(Ⅱ)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;
(Ⅲ)若直線l交x軸負(fù)半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標(biāo)原點,設(shè)△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】【選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

將圓上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得曲線C.

Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程;

設(shè)直線C的交點為,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的零點;
(2)若實數(shù)t滿足f(log2t)+f(log2 )<2f(2),求f(t)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)列是正整數(shù)的任一排列,且同時滿足以下兩個條件:

;②當(dāng)時, ().

記這樣的數(shù)列個數(shù)為.

(I)寫出的值;

(II)證明不能被4整除.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩組各有三名同學(xué),他們在一次測驗中的成績的莖葉圖如圖所示,如果分別從甲、乙兩組中各隨機挑選一名同學(xué),則這兩名同學(xué)成績相同的概率是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e]),其中e是自然常數(shù),a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格:(單位:人)

經(jīng)常使用

偶爾或不用

合計

30歲及以下

70

30

100

30歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?

(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.

(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);

(ii)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.

參考公式: ,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案