Question

如圖，已知點A(0，

1

4

)，點P（x₀，y₀）（x₀＞0）在曲線y=x²上，若陰影部分面積與△OAP面積相等時，則x₀=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)積分的幾何意義求出陰影部分的面積，結合三角形面積公式建立方程關系即可求解結論．

解答：解：∵點P（x₀，y₀）（x₀＞0）在曲線y=x²上，
∴y₀=x₀²，
則三角形△OAP面積S=

1

2

|OA||x0|=

1

2

×

1

4

x0=

1

8

x0，
陰影部分的面積為

∫

x0 0

x2dx=

1

3

x3

|

x0 0

=

1

3

x

3 0

，
∵陰影部分面積與△OAP面積相等時，
∴

1

3

x

3 0

=

1

8

x0，
即

x

2 0

=

3

8

，
∴x0=

3 8

=

6

4

，
故答案為：

6

4

．

點評：本題主要考查積分的幾何意義，利用積分求出陰影部分的面積是解決本題的關鍵，要求熟練掌握常見函數(shù)的積分公式．