Question

 如圖，圓臺上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18，從AB中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到A點。

（1）求繩子的最短長度；

（2）求繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離。

 

Answer 1

【答案】

（1）21；（2）

【解析】

試題分析：  （1）要求繩子AM繞圓臺一周的最短長度，則可沿AB將圓臺的曲面展開，得扇環(huán)面（即將曲面問題轉(zhuǎn)化為平面問題），然后求出扇環(huán)面上AM’間的距離，AM’=，即繩子的最短長度為21。

（2）要研究此時上底圓周上的點到繩子的最短距離，則需將扇環(huán)補充成扇形，這樣將BB’上的點到AM’的最短距離問題轉(zhuǎn)化為點S到AM’的最短距離（因為點S到BB’上的點的距離等于半徑SB）。故只需求出S到AM’的距離SQ，再減去半徑SP即可。即上底圓周上的點到繩子最短距離PQ=SQ－SP=SQ－SB=。

考點：本題主要考查圓臺的幾何特征及其展開圖、距離的計算。

點評：此題用到將圓臺“補成”圓錐再展開進行研究，這種割、補、拼湊的思想，是重要的數(shù)學(xué)思維方法。