在如圖的三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AC＝1，PC＝ BC，PB和平面ABC所成的角為．

　　

(Ⅰ)求證：平面PBC⊥平面PAC；

(Ⅱ)比較三個側(cè)面的面積的算術平均數(shù)與底面積數(shù)值的大小，并說明理由；

(Ⅲ)求AB的中點M到直線PC的距離．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由已知PA⊥平面ABC，PA=AC=1，

　　∴△PAC為等腰直角三角形，且PC=CB=，

　　在Rt△PAB中∠PBA=，

　　∴PB=2，

　　∴△PCB為等腰直角三角形．

　　∵PA⊥平面ABC，PC⊥BC，

　　∴AC⊥BC，又AC∩PC＝C，

　　∴BC⊥平面PAC，

　　∵BC平面PBC，

　　∴平面PBC⊥平面PAC

　　(Ⅱ)三個側(cè)面及底面都是直角三角形，求得側(cè)面PAC面積值為，側(cè)面PAB面積值為，側(cè)面PCB面積值為1，底面積值為．

　　三個側(cè)面面積的算術平均數(shù)為

　　

　　∴三個側(cè)面面積的算術平均數(shù)大于底面積的數(shù)值．

　　(Ⅲ)如圖，過M作MD⊥AC，垂足為D

　　∵平面PAC⊥平面ABC且相交于AC，

　　∴MD⊥平面PAC．

　　過D作DE⊥PC，垂足為E，連結ME，則DE是ME在平面PBC上的射影，

　　∵DE⊥PC，∴ME⊥PC，ME的長度即是M到PC的距離．

　　在Rt△ABC中，MD∥BC，MD=BC=，在等腰Rt△PAC中，

　　DE=DCsin

　　∴ME=，即點M到PC的距離為


練習冊系列答案
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A．4π              B.3π              C.2π              D.π

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