Question

已知平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，

1

2

）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）分別設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），線段PA的中點(diǎn)M（x，y）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及“代點(diǎn)法”即可得出；
（3）對(duì)直線BC的斜率分存在于不存在兩種情況討論，當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，把直線BC的方程與橢圓的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|BC|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出點(diǎn)A到直線BC的距離，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出，再利用導(dǎo)數(shù)得出其最值．

解答：解；（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，c為半焦距．
∵右頂點(diǎn)為D（2，0），左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，
∴a=2，c=

3

，b2=a2-c2=22-(

3

)2=1．
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），線段PA的中點(diǎn)M（x，y）．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

，解得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

．（*）
∵點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，∴

x 2 0

4

+

y

2 0

=1．
把（*）代人上式可得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，可化為(x-

1

2

)2+

(y- 1 4 )2

1 4

=1．
即線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程為一焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(x-

1

2

)2+

(y- 1 4 )2

1 4

=1．
（3）①當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，可得B（0，-1），C（0，1）．
∴|BC|=2，點(diǎn)A(1，

1

2

)到y(tǒng)軸的距離為1，∴S△ABC=

1

2

×2×1=1；
②當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線BC的方程為y=kx，B（x₁，y₁），C（-x₁，-y₁）（x₁＜0）．
聯(lián)立

y=kx x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²=4．解得x1=-

2

1+4k2

，
∴y1=-

2k

1+4k2

．
∴|BC|=

4 x 2 1 +4 y 2 1

=2

(- 2 1+4k2 )2+(- 2k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．
又點(diǎn)A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

．
∴S△ABC=

1

2

|BC|×d=

1

2

×

4 1+k2

1+4k2

|k- 1 2 |

1+k2

=

|2k-1|

1+4k2

，
∴

S

2 △ABC

=

(2k-1)2

1+4k2

=1-

4k

1+4k2

，
令f（k）=

4k

1+4k2

，則f′(k)=

-16(k+ 1 2 )(k- 1 2 )

(1+4k2)2

．
令f^′（k）=0，解得k=±

1

2

．列表如下：

又由表格可知：當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，即

S

2 △ABC

取得最大值2，即S△ABC=

2

．
而當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，

S

2 △ABC

→1．
綜上可得：當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，△ABC的面積取得最大值

2

，即S△ABC=

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及“代點(diǎn)法”、分類(lèi)討論的思想方法、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立解方程組、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其極值．