精英家教網(wǎng)點A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1長軸的左、右焦點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（1）求P點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．
分析：（1）先求出PA、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出
AP
、
FP
的坐標(biāo)，由題意可得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
，且y＞0，
解方程組求得點P的坐標(biāo)．
（2）求出直線AP的方程，設(shè)點M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點到點M的
距離d的平方得解析式，配方求得最小值．
解答：解：（1）由已知可得點A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點P（x，y），則
AP
=（x+6，y），
FP
=（x-4，y）．
由已知可得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
，2x2+9x-18=0，解得x=
3
2
，或x=-6．
由于y＞0，只能x=
3
2
，于是y=
5
3
2
．∴點P的坐標(biāo)是（
3
2
，
5
3
2
）．
（2）直線AP的方程是 
y-0
5
3
2
-0
=
x+6
3
2
+6
，即 x-
3
y+6=0．  
設(shè)點M（m，0），則M到直線AP的距離是
|m+6|
2
．
于是
|m+6|
2
=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故點M（2，0）．
設(shè)橢圓上的點（x，y）到點M的距離為d，有 d2=（x-2）2+y2 =x2-4x+4+20-
5
9
x2 =
4
9
（x-
9
2
）2+15，
∴當(dāng)x=
9
2
時，d取得最小值
15
．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)和點到直線的距離公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，求出點M的坐標(biāo)，是解題的難點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．求點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點E（3，0），設(shè)點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設(shè)點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（�。┰O(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設(shè)過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
2
3
，橢圓G上的點N到兩焦點的距離之和為12，點A、B分別是橢圓G長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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