設(shè)函數(shù)=（為自然對數(shù)的底數(shù)），，記．

（1）為的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；

（2）若函數(shù)=0有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

（1）在上單調(diào)遞增．（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）。

【解析】

試題分析：（1），∴，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．

（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，而，

∴有唯一解，

的變化情況如下表所示：

x

0

－

0

＋

遞減

極小值

遞增

 

又∵函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

∴方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根 

而，，

解得．

所以，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)。

點(diǎn)評：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，提供了解答此類問題的一般方法。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記曲線在點(diǎn)（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值

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設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）記曲線在點(diǎn)（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河北省高三押題數(shù)學(xué)（理）試題 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，（為自然對數(shù)的底）.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線：為函數(shù)和的“隔離直線”.試問：函數(shù)和是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔

 
 
離直線”方程；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年黑龍江省鶴崗一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

設(shè)函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則=（ ）
A．
B．
C．1
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山西省康杰中學(xué)高三5月第三次模擬（理） 題型：解答題

 設(shè)函數(shù)且其中為自然對數(shù)的底數(shù)。

    （Ⅰ）求與的關(guān)系；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

    （Ⅲ）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使成立。求實(shí)

數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

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