Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n-a_n-1=-

4

3n

，n≥2且n∈N₊．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=log₃

an2

4

，數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項和是T_n，證明：T_n＜

3

16

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：運用等差數(shù)列的性質(zhì)，運算求解，注意累加法的運用，裂項法的運用．

解答： 解：（1）∵a₂-a₁=-

4

32

，a₃-a₂=-

4

33

，…a_n-a_n-1=-

4

3n

，加起來得；a_n-

2

3

=-4(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)
運用等比數(shù)列的求和公式化簡得：a_n=

2

3n

，
（2）證明：∵b_n=log₃

an2

4

=log₃ 

4 32n

4

=log

3-2n 3

=-2n
∴

1

bn•bn+2

=

1

4•n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)
可得：T_n=

1

8

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

8

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

1

8

×

3

2

=

3

16

即T_n＜

3

16

成立．

點評：本題綜合考查了數(shù)列的運算性質(zhì)，化簡技巧．