用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為α的扇形,制成一個(gè)圓錐形容器,求:扇形的圓心角多大時(shí),容器的容積最大?并求出此時(shí)容器的最大容積.

解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,那么r2+h2=R2
因此,
==.…(3分)

令V'=0,即 ,得 .…(5分)
當(dāng) 時(shí),V'>0.
當(dāng) 時(shí),V'<0.
所以,時(shí),V取得極大值,并且這個(gè)極大值是最大值.…(8分)
代入r2+h2=R2,得
由Rα=2πr,得
答:圓心角α為 弧度時(shí),漏斗容積最大.…(12分)
分析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,求出r2+h2=R2,表示出體積表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,得到結(jié)果.
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐與扇形展開(kāi)圖的關(guān)系,體積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模型,理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點(diǎn)
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