Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=a_n²+2a_n，設(shè)數(shù)列{

1

an2

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＞

5

32

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：首先，根據(jù)等差數(shù)列的概念，寫出其通項(xiàng)公式，然后，根據(jù)裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求解．

解答： 證明：當(dāng)n=1時(shí)，
4s₁=a₁²+2a₁，
∴a₁=0或a₁=2，
∵各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，
4s_n=a_n²+2a_n，①
4s_n-1=a_n-1²+2a_n-1，②
①-②，得
4an=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，②
∴（a_n+a_n-1）[（a_n-a_n-1）-2]=0，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴a_n=2n，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=2n，
設(shè)b_n=

1

an2

=

1

4n2

＞

1

4

•

1

(n+1)n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)（n≥2），
∴T_n＞

1

4

[

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]＞

5

32

．
∴結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的概念等知識(shí)，屬于中檔題．