Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+1nx（a∈R）．
（I）當時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（II）如果在公共定義域D上的函數(shù)g（x），f₁（x），f₂（x）滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就稱g（x）為f₁（x）、f₂（x）的“活動函數(shù)”，已知函數(shù)，，若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x）、f₂（x）的“活動函數(shù)”，求實數(shù)a的取范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當時，函數(shù)f（x）=x²+1nx，定義域為（0，+∞），確定f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增，由此可得結(jié)論；
（II）由題意，＜0且＞0，在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，分別確定函數(shù)的最小與最大，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（I）當時，函數(shù)f（x）=x²+1nx，定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)可得f′（x）=x+＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)增
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增
∵f（1）=，f（e）=
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為和最小值為；
（II）由題意，＜0且＞0，在區(qū)間（1，+∞）上恒成立
令（x＞1），則g′（x）=-，∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)減
∵g（1）=+2a，∴+2a≤0，∴a≤；
令h（x）=f₂（x）-f（x）=，則h′（x）=，
又由x∈（1，+∞），且a≤，分析易得h′（x）=＜0，
即h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，則h（x）_max=h（1），
只要使h（1）≤0即可，即a--2a≤0，解可得，a≥-，
綜合可得，-≤a≤．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．