Question

設(shè)變量x、y滿足約束條件

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

，其中k∈R，k＞0，
（1）當(dāng)k=1時，

y-1

x+1

的最大值為

 

；
（2）若

y-1

x+1

的最大值為

1

2

，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論，
（2）根據(jù)

y-1

x+1

的最大值為

1

2

，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）k=1時，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=

y-1

x+1

，則z的幾何意義為動點到定點P（-1，1）的斜率，
則由圖象可知CP的斜率最大，
由

x+y-4=0 y=x

，得

x=2 y=2

，即C（2，2），
則z=

y-1

x+1

的最大值為

2-1

2+1

=

1

3

．
 （2）若

y-1

x+1

的最大值為

1

2

，
即

y-1

x+1

=

1

2

，
則y-1=

1

2

（x+1），
由

y-1= 1 2 (x+1) x+y-4=0

，
解得

x= 5 3 y= 7 3

，即C（

5

3

，

7

3

）此時C也在直線y-1=k（x-1）上，
即

7

3

-1=k(

5

3

-1)，
解得k=2．
故答案為：

1

3

，{2}

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，以及直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．