Question

已知函數(shù)f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若關(guān)于t的方程f（t²-3t）+f（t²-k=0）在[0，2]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，即可判斷該函數(shù)的奇偶性；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷符號即可判斷該函數(shù)的單調(diào)性；
（3）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為即關(guān)于t的方程k=2t²-3t在[0，2]上有解，求出函數(shù)的最值即可

解答： 解：（1）令x=y=0，得f（0）=0；
再令y=-x，
則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），又y=f（x）的定義域為（-1，1），
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，
則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0；
∴f（x₂-x₁）＜0
又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）關(guān)于t的方程f（t²-3t）+f（t²-k）=0在[0，2]上有解，
即f（t²-3t+t²-k）=0在[0，2]上有解，又f（x）是R上的減函數(shù)，
所以關(guān)于t的方程t²-3t+t²-k=0在[0，2]上有解，
即關(guān)于t的方程k=2t²-3t在[0，2]上有解，
設(shè)g（t）=2t²-3t=2（t-

3

4

）²-

9

8

，t∈[0，2]
所以g（t）_max=g（2）=2，g（t）_min=g（

3

4

）=-

9

8

，
所以實數(shù)k的取值范圍是[-

9

8

，2]．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，考查參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．