Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且不平行于軸的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由已知，得，顯然直線的斜率存在且不為0，

則可設(shè)直線的方程為（），，，

由消去，得，顯然.

所以，.  ………………………………………………2分

由，得，所以，

所以，直線的斜率為，

所以，直線的方程為，又，

所以，直線的方程為  ①.………………………………4分

同理，直線的方程為  ②.………………………………5分

②-①并據(jù)得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，

即，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.   ……………………7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k,-1）().

所以，

則直線MF的方程為，    …………………………………………8分

設(shè)C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)

由消去，得，顯然，

所以，.     …………………………………………9分

又

.…………10分

.……………12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052603523523033009/SYS201205260354271521198383_DA.files/image039.png">，所以 ，    

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值.……………………14分

【解析】略