設(shè)
i
、
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量,若向量
p
=(x+m)
i
+y
j
,
q
=(x-m)
i
+y
j
,(x,y∈R,m≥2),且|
p
|-|
q
|=4

(1)求動點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程?并指出方程所表示的曲線;
(2)已知點(diǎn)A(0,1},設(shè)直線l:y=
1
2
x-3與點(diǎn)M的軌跡交于B、C兩點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù)m,使得
AB
AC
=
9
2
?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)向量的表達(dá)式,可推斷出點(diǎn)M(x,y)到兩個定點(diǎn)F1(-m,0),F(xiàn)2(m,0)的距離之差4.討論m的值,根據(jù)雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)c和a,求得b,則其方程可得.
(2)設(shè)將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求得m值,從而解決問題.
解答:解:(1)∵向量
p
=(x+m)
i
+y
j
q
=(x-m)
i
+y
j
,(x,y∈R,m≥2),且|
p
|-|
q
|=4
,
∴點(diǎn)M(x,y)到兩個定點(diǎn)F1(-m,0),F(xiàn)2(m,0)的距離之差4.
由定義得:
當(dāng)m=2時,M的軌跡是一條射線,方程為:
y=0,(x≥2)…(2分)
當(dāng)m>2時,M的軌跡是一支雙曲線,方程為:
 
x2
4
-
y2
m 2-4
=1(x≥2). …(6分)
(2)∵直線l與M點(diǎn)軌跡交于B、C兩點(diǎn),
∴M的軌跡方程為:
 
x2
4
-
y2
m 2-4
=1(x≥2).
y=
1
2
x-3
x2
4
-
y2
m 2-4
=1
⇒(m2-5)x2+12x-36-4(m2-4)=0,
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=
-12
m 2-5
,x1x2=
-4m 2-20
m 2-5
,
AB
AC
=
9
2
,
∴x1x2+(y1-1)(y2-1)=
9
2
,
5
4
x1x2-2(x1+x2)+16=
9
2

∴m2=9,m=±3,
∵m≥2,∴m=3.
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y∈R,i,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,|a|+|b|=4.
(I)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;
(II)過點(diǎn)(0,m)作直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),若|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x、y∈R,
i
、
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量,
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8.
(1)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)(0,3)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)
OP
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使得四邊形OAPB是矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y∈R,
i
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求動點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB,滿足(1)直線AB過點(diǎn)(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,則OAPB為矩形,試求AB方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•西山區(qū)模擬)設(shè)x,y∈R,
i
,
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上單位向量,若向量
a
=(x+
3
)
i
+y
j
,
b
=(x-
3
)
i
+y
j
,且|
a
|+|
b
|=2
6

(1)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;
(2)若直線L與曲線C交于A、B兩點(diǎn),若
OA
OB
=0
,求證直線L與某個定圓E相切,并求出定圓E的方程.

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