Question

給出下面的數(shù)表序列：

其中表n（n=1，2，3 …）有n行，第1行的n個數(shù)是1，3，5，…2n-1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
（I）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列，并將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；
（II）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構成數(shù)列1，4，12…，記此數(shù)列為{b_n}求和：（n∈N⁺）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)表1，表2，表3的規(guī)律可寫出表4，然后求出各行的平均數(shù)，可確定等比數(shù)列的首項和公比，進而推廣到n．
（2）先求出表n的首項的平均數(shù)，進而可確定它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數(shù)列，進而得到表中最后一行的數(shù)b_n=n•2^n-1，再化簡通項，最后根據(jù)裂項法求和．
解答：解：（I）表4為
1   3   5   7
4   8  12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構成首項為4，公比為2的等比數(shù)列
將這一結論推廣到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數(shù)列．
（II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均數(shù)是=n
由（I）知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數(shù)列（從而它的第k行中數(shù)的平均數(shù)是
n•2^k-1），于是，表中最后一行的唯一一個數(shù)為b_n=n•2^n-1．
因此
====（k=1，2，…，n）
故
++…+=（-）+（-）+…+[-]
=-=4-．
點評：本題主要考查數(shù)列求和和等比數(shù)列的性質(zhì)．數(shù)列求和是高考的必考點，一般有公式法、裂項法、錯位相減法等，都要熟練掌握．