Question

雙曲線x²-

y2

3

=1的右焦點(diǎn)為F，直線l：y=kx+d不過點(diǎn)F，且與雙曲線的右支點(diǎn)交于P、Q，若∠PFQ的外角平分線與直線交于A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用焦半徑公式，可得|PF|，|QF|，利用外角平分線性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答： 解：在雙曲線x²-

y2

3

=1中，a=1，c=2，離心率e=2，
∵F為右焦點(diǎn)，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在右支，
∴由焦半徑公式（可由第二定義得到）|PF|=ex₁-a=2x₁-1，|QF|=2x₂-1，
設(shè)∠PFQ的外角平分線與l交于點(diǎn)A（m，n），
∴

|PA|

|QA|

=

|PF|

FQ|

，

x1-m

x2-m

=

2x1-1

2x2-1

，
∴2（x₂-m）=2x₂-1，
∴m=

1

2

，
即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查外角平分線性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．