Question

（本小題滿分14分）
橢圓：的離心率為，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為。
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
為直角三角形，求直線的斜率。

Answer 1

（I）
（II）和

（I）由已知            ………………3分
又，解得
所以橢圓C的方程為。  ………………………………5分
（II）根據(jù)題意，過點(diǎn)D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)。
聯(lián)立，，消去y得，…………6分
，
令，解得。    ………………………………………………7分
設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
（i）當(dāng)∠EOF為直角時(shí)，
則，…………………………8分
因?yàn)椤螮OF為直角，所以，即，………………9分
所以，
所以，解得 ………………11分
（ii）當(dāng)∠OEF或∠OFE為直角時(shí)，不妨設(shè)∠OEF為直角，
此時(shí)，，所以，即……①…………12分
又…………②
將①代入②，消去x₁得
解得或（舍去），……………………13分
將代入①，得 所以，………………14分
經(jīng)檢驗(yàn)，所求k值均符合題意，綜上，k的值為和。