甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽,規(guī)定每一次勝者得1分,負(fù)者得0分;當(dāng)其中一人的得分比另一人的多2分時(shí)即贏得這場(chǎng)游戲比賽,比賽隨之結(jié)束;同時(shí)規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過10次,即經(jīng)10次比賽,得分多者贏得這場(chǎng)游戲,得分相等為和局.已知每次比賽甲獲勝的概率為p(0<p<1),乙獲勝的概率為q(q=1-p).假定各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的,比賽經(jīng)ξ次結(jié)束.
(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ的取值范圍.
分析:(1)以P(ξ=k)記比賽經(jīng)k次結(jié)束的概率,若k為奇數(shù),則甲乙得分之差亦為奇數(shù),因而有P(ξ=k)=0,考慮兩次比賽結(jié)果:①甲連勝或乙連勝兩次,稱為有勝負(fù)的再次,②甲乙各勝一次,稱為無勝負(fù)的兩次,此結(jié)果有兩種情況,分別求出相應(yīng)的概率,比賽以k次結(jié)束,k必為偶數(shù),則1,2兩次,3,4兩次,…,k-3,k-2兩次均未分勝負(fù),從而求出P(ξ=k),列出分布列,利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可;
(2)令2pq=x,根據(jù)Eξ=(1-x)
4
i=1
2ixi-1+10x4
=2(1+x+x2+x3+x4)=
2(1-x5)
1-x
,以及則0<x≤
1
2
,求出Eξ的取值范圍.
解答:解:(1)以P(ξ=k)記比賽經(jīng)k次結(jié)束的概率,
若k為奇數(shù),則甲乙得分之差亦為奇數(shù),因而有P(ξ=k)=0.
考慮兩次比賽結(jié)果:
①甲連勝或乙連勝兩次,稱為有勝負(fù)的再次,結(jié)果出現(xiàn)的概率為p2+q2;
②甲乙各勝一次,稱為無勝負(fù)的兩次,此結(jié)果有兩種情況,故出現(xiàn)的概率為2pq.
比賽以k次結(jié)束,k必為偶數(shù),則1,2兩次,3,4兩次,…,k-3,k-2兩次均未分勝負(fù).
若k≠10,則第k-1,k兩次為有勝負(fù)的兩次,從而有
P(ξ=k)=(2pq)
k
2
-1
(p2+q2).
若k=10,比賽必須結(jié)束,所以P(ξ=20)=(2pq)4
ξ其分布表為
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0 p2+q2 0 2pq (p2+q2 0 4 p22 (p2+q2 0 8 p33 (p2+q2 0 16 p44
綜上所述Eξ=(p2+q2
4
i=1
2i(2pq)i-1
+10(2pq)4
(2)令2pq=x,則0<x=2pq≤
1
2
(p+q)2=
1
2
,
Eξ=(1-x)
4
i=1
2ixi-1+10x4
=2(1+x+x2+x3+x4)=
2(1-x5)
1-x

∵0<x≤
1
2
,且Eξ隨x增加而增加,所以2<Eξ≤
31
8
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差,以及分類討論的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力,這也是高中常見的題型,解題時(shí)認(rèn)真細(xì)致,屬于中檔題.
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