③④
分析:判斷命題①,可以舉一個(gè)例子,如函數(shù)f(x)=x
3,在x=0處的導(dǎo)數(shù)為0,但函數(shù)在x=0處無極值;
命題②中的直線過定點(diǎn)(0,1),保證b
2≥1,即b≥1或b≤-1的值,都能使點(diǎn)(0,1)在曲線上或其內(nèi)部;
命題③采用反證法,假設(shè)a、b、c都小于2,三個(gè)式子相加后重新組合,運(yùn)用基本不等式可得到與假設(shè)矛盾;
命題④轉(zhuǎn)化成“不存在x∈R,使得|x-a|+|x+1|≤2”成立,然后求a的范圍問題直接求解復(fù)雜,考慮絕對(duì)值的幾何意義解決.
解答:命題①,設(shè)函數(shù)f(x)=x
3,f
′(0)=0,函數(shù)f(x)在x=0處無極值,所以命題①不正確.
命題②,不論m為何值,直線y=mx+1恒過定點(diǎn)(0,1),所以只要b
2≥1,點(diǎn)(0,1)一定在橢圓
內(nèi)部,所以
直線y=mx+1均與曲線
有公共點(diǎn),此時(shí)b≥1或b≤-1,所以命題②不正確.
命題③,假設(shè)a、b、c均小于2,即
,
,
,則
,
而
=
≥
(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)等號(hào)成立),與假設(shè)矛盾,所以,若
,則a、b、c中至少有一個(gè)不小于2成立,故命題③正確.
命題④,若命題“存在x∈R,使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題,即“不存在x∈R,使得|x-a|+|x+1|≤2”成立,結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義,|x-a|+|x+1|看作數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)X到兩實(shí)數(shù)a和-1所對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的距離,若實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)數(shù)-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離大于2,即|a+1|>2,則數(shù)軸上不存在實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)到a和-1所對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的距離和小于等于2,即“不存在x∈R,使得|x-a|+|x+1|≤2”成立,故命題④正確.
故答案為③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,解答的關(guān)鍵是每個(gè)命題的命題意圖,命題①說明了導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn);命題②考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法;命題③考查了含有“至少”、“至多”、“存在”等一系列問題的常用證法(反證法);命題④體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化法這種數(shù)學(xué)思想方法.該題涉及知識(shí)點(diǎn)多,處理方法靈活.