Question

13．如圖，點A，B是單位圓上的兩點，A，B點分別在第一、二象限，點C是圓與x軸正半軸的交點，△AOB是正三角形，記∠COA=α．
（1）若點A的坐標為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos2α的值；
（2）分別過A，B作x軸的垂線，垂足為D，E，求當角α為何值時，三角形AED面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （1）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．
（2）化簡 S_△AED=$\frac{1}{2}$ AD•DE為 $\frac{1}{4}$sin（2α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，由0＜α＜$\frac{π}{2}$及$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得三角形AED面積的最大值．

解答 （1）由題意可得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，故cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{7}{25}$．
（2）AD=sinα，OD=cosα，OE=-cos（α+$\frac{π}{3}$），
DE=OD+OE=cosα-cos（α+$\frac{π}{3}$），
故S_△AED=$\frac{1}{2}$ AD•DE=$\frac{1}{2}$ sinα•[cosα-cos（α+$\frac{π}{3}$）]
=$\frac{1}{2}$ sinα•（cosα-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ sinα）=$\frac{1}{4}$sinα•cosα+$\frac{\sqrt{3}}{4}$ sin²α
=$\frac{1}{8}$ sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{8}$cos2α+$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{1}{4}$ sin（2α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
由0＜α＜$\frac{π}{2}$及$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，可得$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
從而0＜2α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，故當2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{5π}{12}$時，S_△AED取得最大值$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．