Question

某職業(yè)聯賽的總決賽在甲、乙兩隊之間角逐，采用七場四勝制，即有一隊勝四場，則此隊獲勝，且比賽結束．在每場比賽中，甲隊獲勝的概率是

2

3

，乙隊獲勝的概率是

1

3

，根據以往資料統計，每場比賽組織者可獲門票收入為30萬元，兩隊決出勝負后，問：
（Ⅰ）組織者在總決賽中獲門票收入為120萬元的概率是多少？
（Ⅱ）組織者在總決賽中獲門票收入不低于180萬元的概率是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，若門票收入為120萬元，則甲或乙隊連勝4場，分析可得，甲隊連勝4場與乙隊連勝4場是互斥事件，由互斥事件的概率，計算可得答案；
（Ⅱ）門票收入不低于180萬元即門票收入為180萬元或210萬元，若門票收入為180萬元，則甲、乙隊比賽6場，最終甲或乙獲勝；進而又分為若甲勝，則前5場中甲恰好勝3場，第6場甲勝，若乙勝，則前5場中乙恰好勝3場，第6場乙勝，由互斥事件的概率，計算可得其概率，同理可得門票收入為210萬元的概率，最后結合互斥事件的概率，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，若門票收入為120萬元，則甲或乙隊連勝4場，
分析可得，甲隊連勝4場與乙隊連勝4場是互斥事件，
故其概率為：P₁=(

2

3

)4+(

1

3

)4=

17

81

，
（Ⅱ）根據題意，門票收入不低于180萬元即門票收入為180萬元或210萬元，
若門票收入為180萬元，則甲、乙隊比賽6場，最終甲或乙獲勝；
有兩種情況，若甲勝，則前5場中甲恰好勝3場，第6場甲勝，
若乙勝，則前5場中乙恰好勝3場，第6場乙勝，
故其概率為：P₂=

C

3 5

(

2

3

)3(

1

3

)2×

2

3

+

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2×

1

3

=

200

729

，
同理，門票收入為210萬元的概率為：P₃=

C

3 6

(

2

3

)3(

1

3

)3×

2

3

+

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3×

1

3

=

160

729

，
由互斥事件的概率，可得門票收入不低于180萬元的概率是：P=P2+P3=

40

81

．

點評：本題考查互斥事件、相互獨立事件、對立事件的概率，首先分析題意，明確事件之間的相互關系．