Question

2．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，O為坐標原點，過Q（0，m）作直線交拋物線C于A，B兩點，點P在拋物線C上，且滿足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FP}$=$\overrightarrow{0}$．
（Ⅰ）記△OFA，△OFB，△OFP的面積分別為S₁，S₂，S₃，求證：S₁²+S₂²+S₃²為定值；
（Ⅱ）求△ABP的面積（用m表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），由向量的坐標運算，可得y₁+y₂+y₃=3，結(jié)合點滿足拋物線方程，即可得證；
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為y=kx+m，聯(lián)立拋物線方程，消去y，運用韋達定理，判別式大于0，結(jié)合點到直線的距離公式，由三角形的面積公式，化簡整理，即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）證明：記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FP}$=$\overrightarrow{0}$．知y₁+y₂+y₃=3，
且x_i²=4y_i（i=1，2，3），
S₁²+S₂²+S₃²=$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²+x₃²）=y₁+y₂+y₃=3，
所以S₁²+S₂²+S₃²為定值3；
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
得x²-4kx-4m=0，所以△=16k²+16m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16m}$=4$\sqrt{（1+{k}^{2}）（m+{k}^{2}）}$，
又x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=3，
所以x₃=-4k，y₃=3-（y₁+y₂）=3-4k²-2m，
所以，P到直線AB的距離為d=$\frac{|3m-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d=6|m-1|•$\sqrt{m+{k}^{2}}$，
而x₃²=4y₃，所以16k²=12-16k²-8m，
即8k²=3-2m，結(jié)合△＞0，得-$\frac{1}{2}$＜m≤$\frac{3}{2}$，
進一步整理得S_△ABP=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$|m-1|•$\sqrt{2m+1}$
=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{（1+2m）（m-1）^{2}}$（-$\frac{1}{2}$＜m≤$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查向量的坐標運算，考查由直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．