Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），把能夠使乘積a₁a₂a₃…a_n是整數(shù)的數(shù)字n稱為完美數(shù)，則在區(qū)間（1，2010）內(nèi)所有的完美數(shù)的和為

1. A.
   1024
2. B.
   2003
3. C.
   2026
4. D.
   2048

Answer 1

C
分析：a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），當(dāng)n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊時(shí)，n稱為完美數(shù)，在區(qū)間（1，2010）中找出所有的完美數(shù)之后用數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算．
解答：∵a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），
當(dāng)n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊時(shí)，n稱為完美數(shù)，
在區(qū)間（1，2010）內(nèi)的完美數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2ⁿ-2，當(dāng)2ⁿ-2≤2010時(shí)，n≤10．
∴在區(qū)間（1，2010）內(nèi)所有的完美數(shù)的和S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+2⁴+…2¹⁰）-18
=，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：迭代相消的題目規(guī)律性很強(qiáng)，我們要注意把握這種規(guī)律性．