設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若f(-3)=a,用a表示f(12);
(3)若當(dāng)x>0時(shí),有f(x)>0,則f(x)在R上是增函數(shù).
分析:(1)判斷f(x)奇偶性,即找出f(-x)與f(x)之間的關(guān)系,可令y=-x,有f(0)=f(x)+f(-x),故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f(0)即可,再對(duì)x、y都賦值為0可得結(jié)論.
(2)由于f(-3)=a,因此解本題關(guān)鍵是找出f(12)與f(-3)之間的關(guān)系,再利用(1)的結(jié)論,可求出f(12).
(3)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,充分利用條件當(dāng)x>0時(shí),有f(x)>0與f(x+y)=f(x)+f(y),即可判定單調(diào)性.
解答:解:(1)顯然f(x)的定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
又∵函數(shù)對(duì)一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)∵f(-3)=a且f(x)為奇函數(shù),
∴f(3)=-f(-3)=-a.
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=3f(3+3)=4f(3)=-4a.
故f(12)=-4a.
(3)任取x1<x2,x2-x1>0,則f(x2-x1)>0
∴f(x2)+f(-x1)>0;
對(duì)f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=0,
再取y=-x得f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x),
∴有f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1
∴f(x)在R上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì),在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧,這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)常用的一種探究的方式,屬于中檔題.在求值和證明過(guò)程中應(yīng)該體會(huì)抽象函數(shù)恒等式的用法規(guī)律,根據(jù)恒等式的結(jié)構(gòu)把已知用未知表示出來(lái).
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1
2
 )=2
,則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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A、f(x)=-x2+6x-8B、f(x)=x2-10x+24C、f(x)=x2-6x+8D、f(x)=x2-6x+8+a

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