Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x的切線過(guò)點(diǎn)（1，2），則其切線方程為

4x-y-2=0，7x-4y+1=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³+t），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求得切線的斜率，寫(xiě)出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)（1，2），求出t的值，從而求得切線方程．

解答：解：f（x）=x³+x，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³+t），
∵f′（x）=3x²+1，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率k=f′（t）=3t²+1，
∴由直線方程的點(diǎn)斜式可得，切線方程為y-（t³+t）=（3t²+1）（x-t），
∵切線過(guò)點(diǎn)A（1，2），
∴2-（t³+t）=（3t²+1）（1-t），
∴2t³-3t²+1=0，即（t-1）²（2t+1）=0，
∴t=1或t=-

1

2

，
∴切點(diǎn)為（1，2），斜率為4，或切點(diǎn)為（-

1

2

，-

5

8

），斜率為

7

4

，
∴切線方程為y-2=4（x-1）或y+

5

8

=

7

4

（x+

1

2

），即4x-y-2=0或7x-4y+1=0．
故答案為：4x-y-2=0，7x-4y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，直線的點(diǎn)斜式方程的運(yùn)用．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．涉及了三次方程的求解，解方程的關(guān)鍵在于因式分解，轉(zhuǎn)化為二次方程進(jìn)行求解．屬于中檔題．