Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項和S_n=2n²+2n，數(shù)列{b_n} 的前n項和T_n=2-b_n．
（1）求數(shù)列{a_n} 與{b_n} 的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n²•b_n，求數(shù)列{c_n}的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意求出a₁=4，利用a_n=S_n-S_n-1化簡可得，a_n=4n，n∈N^*，再由b_n=T_n-T_n-1，可得2b_n=b_n-1說明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由題意c_n=a_n²•b_n，推出

Cn+1

Cn

的取值范圍，由此判斷數(shù)列滿足c_n+1＜c_n．進(jìn)而可求出數(shù)列{c_n}的最大值．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=4
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，
∴a_n=4n，n∈N^*，
又當(dāng)n≥2時b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），∴2b_n=b_n-1
∴數(shù)列b_n是等比數(shù)列，其首項為1，公比為

1

2

，∴b_n=（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知C₁=a₁²b_n=16n²（

1

2

）^n-1，

Cn+1

Cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．
由

Cn+1

Cn

＜1得

(n+1)2

2n2

＜1，解得n≥3．
又n≥3時，

(n+1)2

2n2

＜1成立，即

Cn+1

Cn

＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時c_n+1＜c_n．C₁=16，C₂=32，C₃=36，
所以數(shù)列{c_n}的最大值36．

點評：由a_n=S_n-S_n-1可求出b_n和a_n，這是數(shù)列中求通項的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，進(jìn)而得到c_n，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法．考查計算能力．