Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C所成銳角的大小．

Answer 1

分析：（法一）
（I）由已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90，易得AB⊥平面BB₁C₁C，從而可得AB⊥DB₁；由2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點可證B₁D²+BD²=BB₁²，即可證BD⊥B₁D，從而可證
（II）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，則∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角，Rt△ABD中求解∠ADB即可
（法二：向量法）
（I）結(jié)合條件考慮分別以BC、BA、BB₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系B-xyz，要證B₁D⊥平面ABD?證明B₁D⊥BD，B₁D⊥AB?

BD

•

B1D

=0   

B1D

•

AB

=0
（II）易知平面BB₁C₁C的法量為

BA

，求出平面AB₁D的法向量

n

，代入公式cosθ=

BA • n

|BA || n |

求解即可

解答：解：方法一：
（Ⅰ）證明：在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=

1

2

C1C=1
∴B₁D=

2

，同理BD=

2

在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D?平面BB₁C₁C，∴B₁D⊥ABAB∩BD=B∴B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

2

∴tan∠ADB=

AB

BD

=

1

2

=

2

2

，∴∠ADB=arctan

2

2

．
即平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C所成銳角的大小為arctan

2

2

．（12分）
方法二：
證明：（Ⅰ）如圖所示建立空間直角坐標系B-xyz
則A（0，1，0），B（0，0，0）C（1，0，0），
D（1，0，1），B₁（0，0，2），C₁（1，0，2）
于是

B1D

=（1，0，-1），

BD

=（1，0，1），

AD

=(1，-1，1)，

BA

=（0，1，0）
（Ⅰ）∵

.

B1D

•

.

BD

=（1，0，-1）（1，0，1）=0

.

B1D

⊥

.

AD

=（1，0，-1）（1，-1，1）=0
∴

.

B1D

⊥

.

BD

，

.

B1D

⊥

.

AD

，即B₁D⊥BD，B₁D⊥AD，
又AD∩BD=D∴B₁D⊥平面ABD₁
（Ⅱ）設(shè)平面AB₁D的法向量為

n

=（a，b，c），
則由

n • B1D =0 n • AD =0

得

a-c=0 a-b+c=0

令c=1得a=1，b=2∴n=（1，2，1），
易知平面BB₁C₁C的法向量為

BA

=（0，1，0）
設(shè)平面AB₁D與平面BB₁C₁C所成角的大小為θ
則cosθ=

n • BA

| n || BA |

=

6

3

即平面AB₁D與側(cè)面BB₁C₁C所成銳角的大小為arccos

6

3

．（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系：利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的運用；二面角的平面角的作法利用定義法及空間向量法求解二面角的平面角，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是對基本知識與基本方法的綜合考查．