Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=2
（1）求直線AC₁和A₁B₁所成角的大��；
（2）求直線AC₁和平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：可以證明CA，CB，CC₁兩兩互相垂直．以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量知識(shí)解決．
（1）利用

AC1

，

A1B1

夾角求出直線AC₁和A₁B₁所成角的大��；
（2）求出平面ABB₁A₁ 的一個(gè)法向量，利用

AC1

與法向量夾角求出直線AC₁和平面ABB₁A₁所成角

解答：解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱，∴CC₁⊥平面 ABC，又AC⊥BC，故CA，CB，CC₁兩兩互相垂直．
如圖，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC₁⊥兩分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），A₁（2，0，2），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2）
∴

AC1

=（-2，0，2），

A1B1

=（-2，2，0），
∵cos＜

AC1

，

A1B1

＞=

AC1 • A1B1

| AC1|  | A1B1 |

=

4

2 2• 2 2

=

1

2

＜

AC1

，

A1B1

＞=60°．
∴直線AC₁和A₁B₁所成角的大小60°．
（2）設(shè)平面ABB₁A₁的一個(gè)法向量是

n

=（x，y，z）
則

n • A1B1 =0 n • AA1 =0

即

-2x+2y=0 2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0）
設(shè)直線AC₁和平面ABB₁A₁所成角為θ，
∵sinθ=cos＜

AC1

，

n

＞=

| AC1 • n  |

|AC1|| n |

=

1

2

∴θ=30°，即直線AC₁和平面ABB₁A₁所成角為30°

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線夾角、二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具 可以降低思維難度，較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出但需注意有關(guān)懂得點(diǎn)、向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性．