Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為

3

．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓Γ上一點(diǎn)，以M為圓心，MF為半徑作圓M，若圓M與y軸相切，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由題意知a=2c，bc=

3

，由此能示出橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），右焦點(diǎn)F（1，0），則圓M的半徑r=

(x0-1)2+y02

，由圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x₀|，圓M與y軸相切，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知a=2c，bc=

3

…（2分）
解得：a=2，b=

3

，c=1…（4分）
所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），右焦點(diǎn)F（1，0），
則圓M的半徑r=

(x0-1)2+y02

，
圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x₀|，圓M與y軸相切，
則有r=d，即

(x0-1)2+y02

=|x0|，…（8分）
化簡(jiǎn)得：y02-2x0+1=0，又M為橢圓上的點(diǎn)，
∴y02=3-

3

4

x02，…（9分）
兩式聯(lián)立消去y₀，得3x02+8x0-16=0，
解得x₀=-4或x0=

4

3

，…（10分）
又-2≤x₀≤2，所以x0=

4

3

，y0=±

15

3

，
即點(diǎn)M坐標(biāo)是(

4

3

，±

15

3

)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．