Question

已知橢圓E：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的離心率e=

3

2

，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓E的離心率e=

3

2

，知

a2-1

a

=

3

2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 x=2t

，得M，N的坐標(biāo)分別為（2t，

1-t2

），（2t，-

1-t2

），再由圓C的直徑為MN，且與y軸相切，能求出t的值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面積S=

1

2

×2t×2

1-t2

≤2×

t2+1-t2

2

=1，由此能求出△OMN的面積的最大值為1．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E的離心率e=

3

2

，
∴

a2-1

a

=

3

2

，
解得a=2，
故橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 x=2t

，得

x=2t y=± 1-t2

，
即M，N的坐標(biāo)分別為（2t，

1-t2

），（2t，-

1-t2

），
∵圓C的直徑為MN，且與y軸相切，
∴2t=

1-t2

，∵t＞0，∴t=

5

5

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面積S=

1

2

×2t×2

1-t2

≤2×

t2+1-t2

2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1-t2

即t=

2

2

時(shí)，等號成立，
故△OMN的面積的最大值為1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．