Question

用一塊長(zhǎng)為a，寬為b(a＞b)的矩形木板，在二面角為α的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的谷倉(cāng)，試問(wèn)應(yīng)怎樣圍才能使谷倉(cāng)的容積最大？并求出谷倉(cāng)容積的最大值.

Answer 1

當(dāng)木板的長(zhǎng)邊著地，并且谷倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)，谷倉(cāng)的容積最大，其最大值為a²bcos.

解析:

如圖，設(shè)矩形木板的長(zhǎng)邊AB著地，并設(shè)OA=x，OB=y，則a²=x²+y²－2xycosα≥2xy

－2xycosα=2xy(1－cosα).

∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤ (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào))，故此時(shí)谷倉(cāng)的容積的最大值V₁=(xysinα)b=  同理，若木板短邊著地時(shí)，谷倉(cāng)的容積V的最大值V₂=ab²cos,

∵a＞b,∴V₁＞V₂

從而當(dāng)木板的長(zhǎng)邊著地，并且谷倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)，谷倉(cāng)的容積最大，其最大值為a²bcos.