Question

（2013•甘肅三模）設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=lgx_n，則a₁+a₂+…+a₉₉的值為

-2

．

Answer 1

分析：由曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），知y′=（n+1）xⁿ，故f′（1）=n+1，所以曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n=

n

n+1

，故a_n=lgn-lg（n+1），由此能求出a₁+a₂+…+a₉₉．

解答：解：∵曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，
∴曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n=

n

n+1

，
∵a_n=lgx_n，
∴a_n=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉
=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+（lg3-lg4）+（lg4-lg5）+（lg5-lg6）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．