Question

已知p：不等式mx²+1＞0的解集是R；q：f（x）=log_mx是減函數．若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據二次不等式恒成立的充要條件，可得不等式mx²+1＞0的解集是R時，即命題p為真時，參數m的取值范圍，根據對數函數的單調性與底數的關系，求出f（x）=log_mx是減函數，即命題q為真時，參數m的取值范圍，由復合命題的真值表，結合p∨q為真，p∧q為假，可得p和q一真一假，分類討論后可得m的取值范圍．
解答：解：因為不等式mx²+1＞0的解集是R，
所以或m=0，
解得m≥0，即p：m≥0．（3分）
又f（x）=log_mx是減函數，
所以0＜m＜1，即q：0＜m＜1，（6分）
又p∨q為真，p∧q為假，所以p和q一真一假．
即p為真，q為假；或p為假，q為真．
∴或，得m≥1．
∴m的取值范圍是m≥1．（10分）
點評：本題又復合命題的真假判斷為載體考查了一元二次不等式恒成立問題，及對數函數的單調性，難度不大，屬于基礎題．