Question

5．已知一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元．設(shè)該工廠一年內(nèi)生產(chǎn)這種產(chǎn)品x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為p（x）萬元，且$p（x）=\left\{\begin{array}{l}108-\frac{1}{3}{x^2}，0＜x≤10\\ \frac{1080}{x}-\frac{10000}{{3{x^2}}}，x＞10\end{array}\right.$
（Ⅰ）寫出年利潤f（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時，該工廠在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？
（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由年利潤=年銷售收入-年總成本，結(jié)合p（x），即可得到所求f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論0＜x≤10時，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得最大值；再討論x＞10時，運用基本不等式求得最大值，進而得到所求f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$p（x）=\left\{\begin{array}{l}108-\frac{1}{3}{x^2}，0＜x≤10\\ \frac{1080}{x}-\frac{10000}{{3{x^2}}}，x＞10\end{array}\right.$，
則f（x）=x[p（x）-27]-100=$\left\{\begin{array}{l}81x-\frac{1}{3}{x^3}-100，0＜x≤10\\ 980-27x-\frac{10000}{3x}，x＞10\end{array}\right.$；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤10時，f'（x）=81-x²，
令f′（x）=0得x=9∈（0，10]（x=-9舍去），
且當(dāng)x∈（0，9）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（9，10）時，f′（x）＜0．
所以當(dāng)x=9時，f（x）_max=f（9）=386．
當(dāng)x＞10時，$f（x）=980-27x-\frac{10000}{3x}$=$980-27（x+\frac{10000}{81x}）$
$≤980-27•2\sqrt{x•\frac{10000}{81x}}$=380，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{10000}{81x}$即$x=\frac{100}{9}$∈（10，+∞）時取等號．
所以當(dāng)x＞10時，f（x）_max=380．
因為386＞380，所以當(dāng)x=9時，f（x）_max=386．
答：年產(chǎn)量為9千件時，該工廠在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大．

點評 本題考查函數(shù)模型和數(shù)學(xué)思想的運用，考查分段函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運用單調(diào)性和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．