Question

13．甲、乙比賽射擊，射中的概率均為$\frac{1}{2}$，甲射擊3次，記射中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙射擊2次，記射中目標(biāo)的次數(shù)為Y，若X＞Y，則甲獲勝，若X＜Y，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率．

Answer 1

分析 甲，乙射擊符合獨立重復(fù)試驗，故射擊投中的次數(shù)為X，Y服從二項分布，由二項分布知識直接求P（X）和P（Y）；
甲獲勝有以下情況：X=1，Y=0；X=2，Y=0，1；X=3，η=0，1，2．每種情況互斥，分別求概率再求和即可．
乙獲勝有以下情況：Y=1，X=0；Y=2，X=0，1．分別求概率再求和即可

解答 解：甲，乙射擊符合獨立重復(fù)試驗，故射擊射中的次數(shù)為X，Y服從二項分布，
X～B（3，$\frac{1}{2}$），Y～B（2，$\frac{1}{2}$），
（2）P（X=0）=C₃⁰•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
P（X=1）=C₃¹•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，
P（X=2）=C₃²•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=C₃³•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
P（Y=0）=C₂⁰•（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（Y=1）=C₂¹•（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
P（Y=2）=C₂²••（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
甲獲勝有以下情況：X=1，Y=0；X=2，Y=0，1；X=3，η=0，1，2．
∴則甲獲勝的概率為P（甲）=$\frac{3}{8}×\frac{1}{4}+$$\frac{3}{8}$×（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{8}$×（$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
乙獲勝有以下情況：Y=1，X=0；Y=2，X=0，1．
P（乙）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{8}$）=$\frac{3}{16}$

點評 本題考查獨立重復(fù)試驗的概率、二項分布等知識，考查利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．