Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n與a_n的關(guān)系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂a₃并歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)（不需證明）；
（Ⅱ）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，利用遞推思想依次求出a₁，a₂a₃，總結(jié)規(guī)律能歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（Ⅱ）由an=

n

2n+1

，利用錯(cuò)位相減法能求出Sn=1-

n+2

2n+1

，再利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*，
∴a1=-a1+1-

1

2

，解得a1=

1

4

=

1

22

，
S₂=

1

4

+a2=-a₂+1-

1

4

，解得a₂=

1

4

=

2

23

，
S3=

1

4

+

1

4

+a3=-a₃+1-

1

23

，解得a3=

3

24

，
由此猜想an=

n

2n+1

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

22

，成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=

k

2k+1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=

1

22

+

2

23

+…+

k

2k+1

+a_k+1=-a_k+1+1-

1

2k+1

，
設(shè)S=

1

22

+

2

23

+…+

k

2k+1

，①
則

1

2

S=

1

23

+

2

24

+…+

k

2k+2

，②
①-②，得

1

2

S=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2k+1

-

k

2k+2

=

1 4 (1- 1 2k )

1- 1 2

-

k

2k+2

=

1

2

-

2+k

2k+2

，
∴S=1-

2+k

2k+1

，
∴2a_k+1=1-

1

2k+1

-1+

2+k

2k+1

=

k+1

2k+1

，
∴ak+1=

k+1

2k+2

，成立，
∴an=

n

2n+1

．
（Ⅱ）∵an=

n

2n+1

，
∴S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，③

1

2

S_n=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，④
③-④得：

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

1

2n+1

-

n

2n+2

，
∴Sn=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），⑤

1

2

Tn=

n

2

-（

3

23

+

4

24

+…+

n+2

2n+2

），⑥
⑤-⑥，得

1

2

Tn=

n

2

-（

3

4

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+2

2n+2

）
=

n

2

-[

3

4

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+2

2n+2

]
=

n

2

-

3

4

-

1

4

+

1

2n+1

+

n+2

2n+2

=

n

2

-1+

1

2n+1

+

n+2

2n+1

，
∴T_n=n-2+

n+4

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．