Question

求證兩兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．

Answer 1

證明：第一種情形（如圖1）：四條直線l₁，l₂，l₃，l₄沒(méi)有三條直線過(guò)同一點(diǎn)，


這時(shí)它們共有六個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D、E、F，它們各不相同，
因直線l₁，l₂相交于點(diǎn)A，可決定一平面α；
因點(diǎn)B、C、D、E均在平面α內(nèi)，
所以直線l₃，l₄也在平面α內(nèi)，
故直線l₁，l₂，l₃，l₄同在平面α內(nèi)．



第二種情形（如圖2）：四條直線l₁，l₂，l₃，l₄中有三條，
例如l₁，l₂，l₃，過(guò)同一點(diǎn)A，
因直線l₄不過(guò)點(diǎn)A，
故由點(diǎn)A及直線l₄可決定一平面α，
因直線l₄與直線l₁，l₂，l₃，相交，
設(shè)交點(diǎn)為B、C、D，
則點(diǎn)B、C、D在直線l₄上，從而在平面α內(nèi)，
因此，直線l₁，l₂，l₃，各有兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，
即這三條直線在平面α內(nèi)，
故四直線l₁，l₂，l₃，l₄在同一平內(nèi)．