Question

設(shè)m∈R，已知函數(shù)f（x）=-x²-2mx²+（1-2m）x+3m-2，若曲線y=f（x）在x=0處的切線恒過定點P，則點P的坐標(biāo)為

（

3

2

，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：欲求曲線y=f（x）在x=0處的切線恒過定點P，須先求出切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答：解：f（x）=-x³-2mx²+（1-2m）x+3m-2，f′（x）=-3x²-4mx+（1-2m）．
因為f（0）=3m-2，f′（0）=1-2m，
所以曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y-（3m-2）=（1-2m）（x-0），
即m（2x-3）+（y-x+2）=0．
由于

2x-3=0 y-x+2=0

得

x= 3 2 y=- 1 2

故切線恒過定點P（

3

2

，-

1

2

）
故答案為：（

3

2

，-

1

2

）．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．