Question

設(shè)函數(shù)h（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有h（x）＜c²成立，求c的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f(x)=

1

2

dx2+2x，g（x）=lnx是否存在實數(shù)d＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2d+1)在區(qū)間(

1

e

，e)內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出d的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，利用h'（1）=0，h'（2）=0，即可求a、b的值；
（2）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后將區(qū)間[0，3]，分為x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，3）三段，在每一段找到最大值，然后三個最大值進行比較，求出區(qū)間[0，3]上最大值，即可求出c的取值范圍；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)d＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2d+1)在區(qū)間(

1

e

，e)內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根，再利用導數(shù)的知識，研究函數(shù)在（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的零點的條件，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）h'（x）=6x²+6ax+3b，
因為函數(shù)h（x）在x=1及x=2取得極值，則有h'（1）=0，h'（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

解得a=-3，b=4．（4分）
（2）由（1）可知，h（x）=2x³-9x²+12x+8c，h'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當x∈（0，1）時，h'（x）＞0；
當x∈（1，2）時，h'（x）＜0；
當x∈（2，3）時，h'（x）＞0．
所以，當x=1時，h（x）取得極大值h（1）=5+8c，又h（0）=8c，h（3）=9+8c．
則當x∈[0，3]時，h（x）的最大值為h（3）=9+8c．
因為對于任意的x∈[0，3]，有h（x）＜c²恒成立，
所以　9+8c＜c²，
解得　c＜-1或c＞9，
因此c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）．
（3）把方程

g(x)

x

=f′(x)-(2d+1)整理為

lnx

x

=dx+2-(2d+1)，
即為方程dx²+（1-2d）x-lnx=0設(shè)H（x）=dx²+（1-2d）x-lnx（x＞0），
原方程在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根，即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個零點H′(x)=2dx+(1-2d)-

1

x

=

2dx2+(1-2d)x-1

x

=

(2dx+1)(x-1)

x

令H'（x）=0，因為d＞0，解得x=1或x=-

1

2d

（舍）
當x∈（0，1）時，H'（x）＜0，H（x）是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，H'（x）＞0，H（x）是增函數(shù)H（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的零點，只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

⇒1＜d＜

e2+e

2e-1

（12分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值問題、函數(shù)與方程的綜合運用，注意（3）的處理存在性問題的一般方法，首先假設(shè)存在，進而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡、轉(zhuǎn)化、計算，最后得到結(jié)論．