Question

已知正項數(shù)列{a_n}的首項a₁＝，函數(shù)f（x）＝，g（x）＝．

   （1）若正項數(shù)列{a_n}滿足a_n＋1＝f（a_n）（n∈N^*），證明：{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；

   （2）若正項數(shù)列{a_n}滿足a_n＋1≤f（a_n）（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n＝，證明：b₁＋b₂＋…＋b_n<1；

   （3）若正項數(shù)列{a_n}滿足a_n＋1＝g（a_n），求證：|a_n＋1－a_n|≤·（）^n－1．

Answer 1

證明：（1）∵a_n＋1＝f（a_n）＝，∴＝＝＋1，即－＝1，

∴{}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．

∴＝2＋（n－1），即a_n＝．（3分）

（2）證明：∵a_n＋1≤，a_n>0，∴≥，即－≥1．

當(dāng)n≥2時，－＝（－）＋（－）＋…＋（－）≥n－1，

∴≥n＋1，∴a_n≤．

當(dāng)n＝1時，上式也成立，∴a_n≤（n∈N^*），

∴b_n＝≤<＝－，

∴b₁＋b₂＋…＋b_n<（1－）＋（－）＋…＋（－）＝1－<1．（8分）

（3）∵a₁＝，a₂＝g（a₁）＝，a₂－a₁＝－＝>0．

又∵a_n＋1－a_n＝－＝，

由迭代關(guān)系可知，a_n＋1－a_n>0，∴a_n≥a₁＝．

又∵（2＋a_n）（2＋a_n－1）＝（2＋）（2＋a_n－1）＝5＋4a_n－1≥7，

∴≤，

∴|a_n＋1－a_n|＝|a_n－a_n－1|≤|a_n－a_n－1|，

∴|a_n＋1－a_n|≤|a_n－a_n－1|≤（）²|a_n－1－a_n－2|≤…

≤（）^n－1|a₂－a₁|＝（）^n－1．（13分）