【題目】已知函數(shù),其中.

(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當(dāng)的圖像剛好與軸相切時(shí),設(shè)函數(shù),其中,求證:存在極小值且該極小值小于.

【答案】(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是;(2)證明見解析

【解析】

1)先求導(dǎo),通過導(dǎo)論參數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)值大于零,求出對應(yīng)增區(qū)間即可

2)當(dāng)時(shí),,由(1)知切點(diǎn)即為,可求出,求出,先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值正負(fù)進(jìn)一步判斷函數(shù)增減性,確定極值點(diǎn),求證在該極值點(diǎn)處函數(shù)值小于即可

解:(1),,

當(dāng)時(shí),,的單調(diào)增區(qū)間是;

當(dāng)時(shí),由可得,

綜上所述,當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是.

(2)易知切點(diǎn)為

,,

所以

設(shè),

上是增函數(shù),

當(dāng)時(shí),,

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn),

.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),,

所以存在極小值.

,則,故,

存在極小值且該極小值小于.

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